Занимательная математика

Линейные  уравнения с  параметрами.

Решить задачу содержащую параметры, значит определить, при каких значениях параметра задача имеет значения и для всех таких значений параметров; найти все решения задачи.

            Чаще всего задачи содержащие параметр и модуль легче решить графическим способом, но при этом способе достаточно просто указать количество корней при том или ином значении параметра, но найти эти корни значительно труднее.

           Мы предлагаем решить систему задач, можно решить аналитически, по определенному алгоритму, а так же систематизировать, полученную после решения информацию по схеме, позволяющей указать кол-во полученных при решении уравнения корней, но и найти их.

1.      Изобразим числовую прямую параметра и отметим на ней контрольные значения параметра.

2.      Отметим слева полученные решения, записанные в виде функций от значений параметра

3.      Внедрим области определения параметра для каждой функции.

4.      Укажем количество корней для данного параметра, которое равно числу областей определения в которые эти значения параметра входят и определяются числом пересечения вертикальных линий, проведенных через контрольные значения.

Эта схема позволяет наглядно, в определенной системе увидеть и количество корней и сами корни для соответствующих значений параметра.

Задачи на логическое мышление

Задача Эйнштейна

На одной улице стоят 5 домов. В разных домах живут люди разных национальностей. Каждый пьет свой напиток, имеет любимый вид отдыха и содержит своё домашнее животное.
Известно, что:
1. Британец живёт в красном доме.
2. У шведа есть собака.
3. Датчанин пьёт чай.
4. Зелёный дом стоит слева от белого, вплотную к нему.
5. Хозяин зелёного дома пьёт кофе.
6. У того, кто читает романы, есть птички.
7. Хозяин жёлтого дома любит гулять.
8. Хозяин среднего дома пьёт молоко.
9. Норвежец живёт в первом доме.
10. Человек, который смотрит телевизор, живёт рядом с хозяином котов.
11. Тот, кто держит лошадей, живёт рядом с тем, кто любит гулять.
12. Тот, кто слушает музыку, пьёт квас.
13. Немец решает задачи.
14. Норвежец живёт рядом с синим домом.
15. У того, кто смотрит телевизор, есть сосед, который пьёт воду.
Кто держит рыбок?

Задачи со спичками

1. Сто 

 

Приложить к четырем спичкам (верхний рис.) пять спичек так, чтобы получилось сто.

Решение задачи показано на  нижнем рисунке. Попробуйте найти еще одно решение. 

2. Три

Положено пять спичек. Прибавить к ним еще пять спичек так, чтобы получилось три.

3. Дом

Из спичек построен дом. Переложить две спички так, чтобы дом повернулся другой стороной.

4. Рак 

Спичечный рак ползет вверх. Переложить три спички так, чтобы он ополз вниз.

Задачи-шутки

Ещё в древней Руси люди решали разные задачи. Например в XIX веке в деревнях загадывали:

1. «Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей.

На каждом костыле по семи сучков.

На каждом сучке по семи кошелей.

В каждой кошеле по семи пирогов.

В каждом пироге по семи воробьев.

Сколько всего?»

2. Как записать число 100 шестью цифрами 4?

3. Как записать число 100 семью цифрами 4?

4. Как записать число 1000 пятнадцатью цифрами 4?

5. Летела стая гусей, а навстречу ему ещё гусь. Гусь говорит: «Здравствуйте, сто гусей». А ему отвечают: «Нас не сто гусей, а меньше. Если бы нас было столько, да ещё полстолька, да ещё четверть столько, да ты, гусь, вот тогда было бы нас сто гусей». Сколько гусей было бы в стае?

6. Семь старух отправились в Рим. У каждой старухи по семи ослов, каждый осел несёт по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?

7. Имеет 4 зуба. Каждый день появляется за столом, а ничего не ест. Что это?

8. На какое дерево садится ворона во время проливного дождя?

9. У бабушки Даши внучка Маша, кот Пушок, собака Дружок. Сколько у бабушки внуков?

10. Сколько горошин может войти в обыкновенный стакан?

11. На четырёх ногах стою, ходить же вовсе не могу.

12. Может ли дождь идти два дня подряд?

13. Двенадцать братьев друг за другом стоят, но друг друга не видят.

14. Первый Назар шёл на базар,

Второй Назар с базара.

Какой Назар купил товар,

Какой шёл без товара? 

История математики отДревней Греции до наших дней

Введение

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Математика для малышей

В Интернете и на книжных полках огромное количество материала о дошкольном развитии детей, о раннем обучении малышей. Каждый родитель хочет, чтобы его дети были как можно умнее. В современном мире без этого ни куда. Методик обучения очень много, но не все они приносят ожидаемый результат. Я могу дать Вам несколько советов, чтобы Вы избежали ошибок.

Во-первых, не гонитесь за быстрыми результатами. Не требуйте от ребенка мгновенного усвоения математики. Чем чаще Вы будете использовать в играх (с игрушками) или в жизни количественный и порядковый счет, тем лучше малыш его запомнит, тем легче ему будет в последствии ориентироваться в числах.

Второе. Не вводите раньше времени цифры. Пусть ребенок сначала твердо усвоит, что такое два или четыре. Увидит, что все можно сосчитать. Что четыре слона и четыре мыши, хотя и отличаются по размеру, но и тех и других ровно по четыре. А после того, как малыш начнет сам пользоваться количественными числительными в играх или в быту, можете начать вводить цифровое обозначение.

Не используйте бесконечное количество разнообразных способов обучения малыша. Не кидайтесь от одной методики к другой - это не поможет малышу лучше усвоить математику, а только запутает его. Выберите что-то одно и занимайтесь ежедневно буквально по 1-5-10 минут (в зависимости от возраста). Причем, чтобы обучить ребенка навыкам счета, совершенно не обязательно покупать какую-то особенную игру или методическое пособие. Очень много можно сделать самому.

Расскажу несколько упражнений, которые можно выполнять, вырезав из картона всего двадцать кружочков размером с  ладошку малыша (двух цветов - по десять). Для начала используйте только десять (одного цвета). (Начало занятий - 3-4 года) 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШАРАДЫ

Он грызун не очень мелкий,

Ибо чуть побольше белки.

А заменишь «У» на «О» -

Будет круглое число.

(Сурок - сорок)

Я приношу с собою боль,

В лице большое искаженье.

А «Ф» на «П» заменишь коль,

То сразу превращусь я в знак сложенья.

(Флюс - плюс)

Коль в треугольнике угол прямой,

Я называюсь его стороной.

Букву последнюю мне поменять -

Буду, как ветер, вас по морю мчать.

(Катет - катер)

С буквой «Р» - с овцы стригут,

В нити прочные прядут.

А без «Р» - нужна для счёта,

Цифрой быть - её работа.

(Шерсть - шесть)

И. Агеева

Десять полезных советов для тех, кто хочет подружиться с математикой

1.                  Настройтесь на успех.

Если ты достаточно успешно справляешься с другими школьными дисциплинами, ты просто не можешь не справиться с математикой - это только дело времени и твоего собственного труда. При изучении математики используются те же логические построения, что и в остальных науках, поэтому нет ничего удивительного в том, что великий математик Бертран Рассел был также и философом, а многие известные музыканты - математиками.

2.                  Постоянно тренируйтесь.

Окружающий нас мир полон множеством чисел, которыми мы постоянно пользуемся. Почему бы не попробовать использовать их для тренировки наших математических способностей и начать складывать числа на номерах проезжающих мимо машин, считать количество шагов до школы, магазина и узнавать скорость нашего движения до этих пунктов?

3.                  Воспринимайте математические примеры как игру.

Самый сложный и страшный пример попробуйте превратить в игру, а все возможные варианты его решения, пусть даже сначала ошибочные, воспринимайте как захватывающую погоню за кладом. Все пройденные правила и теоремы надо знать наизусть, никаких пробелов быть не должно - именно они основа всего, без них не обойтись так же, как и без знания карты местности, где зарыт клад. 

Умножаем с помощью прямых

Существует не совсем обычный способ умножения чисел.

Первое число изображаем в виде прямых линий сверху вниз. Второе справа налево. Отмечаем точки пересечения чисел-линий, делим их на части и приступаем к их подсчету. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке). Число-результат собираем слева направо (против часовой стрелки). 

Если при подсчёте точек получается двухзначное число, то оставив число, означающее единицы, отправляем - прибавляя к точечкам второй части число, означающее десятки

 Цитаты о математике

Эти цитаты помогут оформить кабинет математики, ответить учителю на каверзные вопросы учеников или подготовить доклад о математике. 

---

Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг (Ф. Хаусдорф.) 

---

Вечный вопрос в математике: а не все ли равно? 

---

Математика - это язык, на котором написана книга природы . (Г. Галилей) 

---

Математика – царица наук, арифметика – царица математики . (К.Ф. Гаусс) 

---

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич) 

---

«Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней. (А. Дородницын) 

---

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов) 

---

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин) 

  Неравенства, содержащие знак модулем 

            1) Понятие модуля. Ее геометрический смысл----------------------------------- ---     

            2) Решение неравенств вида │f(x)│V а   -----------------------------------------------

            3) Решение неравенств вида │f(x)│ V g(x)---------------------------------------------

            4)  Решение неравенств вида   │ f ( x )│+│ f ( x ) │+...+│ f ( x )│V в -------

            5) Неравенства с параметрами со знаком модуля. ----------------------------------              

            6) Неравенства с модулями в заданиях ЕГЭ  --------------------------------------      

Нестандартные методы решения уравнений

Умножение уравнения на функцию…………………………………………………...

Метод неопределённых коэффициентов………………………………………………

Подбор корня многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту….

Введение параметра…………………………………………………………………….

Введение новой неизвестной…………………………………………………………..

Комбинация различных методов………………………………………………………

Угадывание корня………………………………………………………………………

Использование суперпозиции функции……………………………………………….

Уравнение вида f(x) = g(x)……………………………………………………………

Уравнение вида f(x) = g(x)……………………………………………………………

Использование свойств абсолютной величины……………………………………….

Понижение степени уравнения…………………………………………………………

Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных………………………………………………………………………

Использование ограниченности функций………………………………………………

Нестандартные способы решения тригонометрических неравенств.

Решение тригонометрических неравенств на тригонометрической окружности.

Алгоритм.

1.             Привести неравенство к такому виду, чтобы в одной его части (например, в правой) стоял ноль.

2.             Определить нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства.

3.             Расставить на единичной окружности точки, являющиеся представителями всех найденных чисел.

4.             Выбрать произвольное число  (значение аргумента функции, стоящей в левой части неравенства), не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел.

5.             Провести луч Ох’ под углом  к координатному лучу Ох.

6.             На луче Ох’ получить контрольную точку Х_к . Для этого подставить число  в левую часть неравенства и определить знак получившегося выражения.

7.             Если выражение больше нуля,

то Х_к – это произвольная точка луча Ох’, лежащая вне единичной окружности.

Иначе, Х_к – это произвольная точка луча Ох’ внутри единичной окружности.

8.             Начиная с точки Х_к провести плавную линию так, чтобы она пересекла единичную окружность во всех отмеченных точках последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку Х_к .

9.             Выбрать нужные участки конфигурации, которую образовала проведенная линия. Для этого:

если выражение, стоящее в левой части неравенства (п.1), больше нуля,

то выбрать участки фигуры, лежащие вне единичной окружности.

Иначе – выбрать те участки фигуры, которые расположены внутри единичной окружности.

10.         Отметить стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам. Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.

Олимпиадные задания для 7,8,9,10,11 классов.

Ответы и решения задач

1. Бочка наполнена бензином. Как перелить из нее в мотоцикл 6 л бензина с помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона?

РЕШЕНИЕ. Наливаем бензин в 5-литровый бидон и переливаем в бак мотоцикла. Затем вновь наливаем бензин в 5-литровый бидон, переливаем в 9-литровое ведро, наливаем еще раз в 5-литровый бидон и отливаем недостающие 4 л в 9-литровое ведро. Тогда в 5-литровом бидоне остается ровно 1 л, его и переливаем в бак мотоцикла.

2. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство:

(х – у)(х + у) – (а – х + у)(а – х – у) – а(2х – а) = 0.

РЕКОМЕНДАЦИИ. Упростив левую часть, получим в ней 0.

3. Через точку В проведены четыре прямые так, что АВBD, BE BC, и проведена прямая AC, пересекающая данные прямые так, что AB = BC. Прямая AC пересекает BD в точке D, AC пересекает BE в точке E. Докажите, что ABE = BCD.

     

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как АВ = ВС, то ВАС = ВСА (см. рис.). Далее, АВЕ = 90º – ЕВD, CBD = 90º – EBD. Отсюда, АВЕ =CBD. Итак, имеем: AB = BC, BAC = BCA, ABE = CBD. Значит, ABE = BCD.

Задания для подготовки к олимпиадам по математике.

Задача 1:

В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?

Задача 2:

Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?

Задача 3:

Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 328, а номер последней записывается теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске?

Задача 4:

В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только весы без стрелки, отмерить 9 кг гвоздей?

Задача 5:

Червяк ползет по столбу, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 5 см, а за каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки столба, если его высота равна 75 см?

Задача 6:

В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким днем недели было 20-е число этого месяца? 

Принцип  Дирихле и его применение.      

Краткая биография

 Дирихле Петер Густав Лежен (13.2.1805–5.5. 1859) – немецкий математик. Родился в Дюрене. В 1822-1827гг. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 занял место доцента в Бреславе; с 1829 работал в Берлине. В 1831-1855гг. – профессор Берлинского университета, после смерти К. Гаусса (1855г.) – Гёттингенского университета. Сделал ряд крупных открытий в теории чисел; установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно просты. К решению этих задач применил аналитические функции, названные функциями (рядами) Дирихле. Создал общую теорию алгебр, единиц в алгебраическом числовом поле. В области математического анализа впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функций, что послужило обоснованием для многих дальнейших исследований. Значительны труды Дирихле  в механике и математической физике, в частности в теории потенциала. С именем Дирихле связаны задача, интеграл (ввел интеграл с ядром Дирихле), принцип, характер, ряды. Лекции Дирихле имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени, в том числе на Г. Римана, Ф. Эйзенштейна,             Л. Кронекера, Ю. Дедекинда. 

 Язык старинных  математических  задач 

1.      Житейские истории 

Задача  № 1

Собака  усмотрела* зайца в 150 саженях * от себя. Заяц пробегает за  2 минуты 500 саженей, а собака – за 5 минут 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца?

________________________________________________

* Сажень – мера в 3 аршина, в 12 четвертей, в 2 метра.           

* Усмотреть – увидеть.

В наше время эта задача звучит так:

Собака увидела зайца в 300 метрах  от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 1000 метров, а собака – за 5 минут 2600 метров. За какое время собака догонит зайца?

Решение:

1) 1000:2=500 (м) - заяц пробегает за 1 минуту.

2) 2600:5=520 (м) - собака пробегает за 1 минуту.

3) 520-500=20 (м) - собака пробегает за 1 минуту больше, чем заяц.

4) 300:20=15 (мин.) – за это время собака догонит зайца.

Ответ: собака догонит зайца за 15 минут.

Задача № 2

На мельнице имеется три жернова*. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей* зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трёх жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько на каждый жернов зерна насыпать?

___________________________

* Жернов – мельничный камень.

* Четверть – мера массы в 25 кг.

В наше время эта задача звучит так:

На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 1500 кг зерна, на втором 1350 кг, а на третьем 1200 кг. Некто хочет смолоть 2025 кг зерна за наименьшее время  на этих трёх жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько на каждый жернов зерна насыпать?

Решение:

1) 1500+1350+1200=4050 (кг) – мелят три жернова за сутки (24 часа).

2) 4050:2025=2 (раза) - меньше потребуется времени для перемалывания 2025 кг зерна.

3) 24:2=12 (час.) – понадобится, чтобы смолоть 2025 кг зерна.

4) 1500:2=750 (кг) – зерна надо насыпать на первый жернов.

5) 1350:2=675 (кг) – зерна надо насыпать на второй жернов.

6) 1200:2=600 (кг) – зерна надо насыпать на третий жернов.

Ответ: за 12 часов,  750 кг, 675 кг, 600 кг.

История создания чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи – это числовая последовательность, в которой каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Например: 1,1,2,3,5,8,13,21,…. Числа Фибоначчи встречаются во многих областях математики. Эти числа названы так в честь крупного итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Фибоначчи. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) был автором-составителем энциклопедии «Liber abaci».    В  1202 году появилась на свет знаменитая « Книга абака» Леонардо Пизанского(Фибоначчи), крупнейшего европейского математика эпохи Средневековья. Этот объемный труд, насчитывающий в печатном варианте 459 страниц, стал настоящей энциклопедией математических знаний того времени и сыграл важную роль в их распространении в странах Западной Европы в следующие несколько столетий. Работа написана на латыни  и считается первым сочинением такого рода, автор которого был христианином. В ней математик отразил  результаты собственных научных изысканий. 

Элементы комбинаторики и теории вероятности.

    Ещё первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьём зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

   Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

   Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как- то оценить вероятность своего возращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклоняться от него.

    Они не были рабами случая, но вместе с тем они были ещё  очень далеки от теории вероятностей.

   Позднее, с опытом, человек всё чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют  объективные закономерности. Вот  простейший опыт - подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба происходит примерно в половине случаев.

Алгебраическое и графическое

решение линейных  уравнений,содержащих модуль

  

Тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

            Основной  целью подборки считаю получение расширенной информации  о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

                                                                                                                    

    Знание – самое превосходное из                        

                                                                  владений. Все стремятся к нему,

                                                                  само же оно не приходит.

                                                                                                    Ал - Бируни

 

 Понятие  «модуль»  широко применяется  во многих разделах  школьного курса  математики, например,  в  изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

   Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает  «мера». Это слово имеет множество значений и  применяется не только в математике, физике и  технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

   Считают, что термин предложил использовать  Котс, ученик Ньютона. Знак модуля  был введен  в  XIX веке  Вейерштрассом.

   В архитектуре модуль – исходная единица измерения, устанавливаемая  для данного архитектурного сооружения.

    В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и  величин, например, модуль упругости, модуль зацепления...

    В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

Графическое решение

уравнений, содержащих модули

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, програмировании и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) — отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Золотое сечение.

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальным свойствами. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному – “золотой”, “божественной”, “золотым сечением”, “золотым числом”.

Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции Пифагора, Платона, Евклида. Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность её сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы “скрепила” их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Античные скульпторы и архитекторы широко использовали ее при создании своих произведений. В этом легко убедиться при изучении шедевров древнегреческого искусства.

В эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи именует ее “Sectio autea”, откуда и получил начало термин “золотое сечение”.

Иоганн Кеплер говорит о ней как о “бесценном сокровище”, как об одном из двух сокровищ геометрии.

            После И. Кеплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто не вспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл её снова. В своих “Эстетических исследованиях” он пишет: “Для того чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что между большей частью и целым”. Он называет это законом пропорций и обнаруживает его проявление в пропорциях человеческого тела и животных, в некоторых храмах, в ботанике и музыке.

                                 Как легко решать задачи на проценты

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

(Д. Пойя)

Пояснительная записка

Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни.

Учащиеся встречаются с процентами на уроках математики, химии, физики, при чтении газет, просмотре телепередач.

Обучение решению задач на проценты всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. В повседневной жизни обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, изменение процентов банковского кредита. Всё это требует производить хотя бы несложные процентные расчёты для сравнения и выбора более выгодных условий.

Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все учащиеся, хотя многие ориентированы на поступление в высшие учебные заведения.

Практика показывает, что очень многие, окончившие школу, не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процента, как доли от некоторой заданной величины. Происходит это потому, что проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценного представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.

Подборка логических задач.

1.Ствол у дуба толще, чем ствол у сосны, а ствол у сосны толще, чем ствол у березы. Что толще: ствол дуба или ствол березы?

2. Оля выше Веры, а Вера выше Наташи. Кто выше: Наташа или Оля?

3. Дима старше Вани, а Ваня старше Марины. Кто старше: Дима или Марина?

4. Ира родная сестра Киры. Витя – брат Иры. Пётр Сергеевич–дедушка Киры. Папу Иры зовут Виталием. Напиши имя и отчество папы Киры и отчество брата Иры.

5. Из трёх братьев Миша был выше Вити, а Витя выше Димы. Кто выше: Митя или Дима?

6. Слева от квадрата находится треугольник, а справа от квадрата – круг. Где находится квадрат? Сделай рисунок.

7. Девочки Катя, Галя и Оля спрятали медвежонка, зайчика и слоника. Катя не прятала зайчика, Оля не прятала ни зайчика, ни медвежонка. Кто какую игрушку спрятал?

8. Три друга – Витя, Серёжа, Коля – раскрашивали рисунки карандашами трёх цветов:  красным , синим, зелёным. Витя раскрашивал не красным и не синим карандашом, Коля – не синим. Каким карандашом пользовался каждый из мальчиков?

9. Среди трёх футбольных мячей красный мяч тяжелее коричневого, а коричневый - тяжелее зелёного. Какой мяч самый тяжёлый?

10. Игорь грустнее Жени. Женя грустнее Вовы. Кто грустнее всех?

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ

Делимость,инварианты, раскраски

1. В ряде задач встречается следующая ситуация. Некоторая система последовательно изменяет своё состояние, и требуется выяснить нечто о её конечном состоянии. Полностью проследить за всеми переходами может оказаться делом сложным, но иногда ответить на требуемый вопрос помогает вычисление некоторой величины, характеризующей состояние системы и сохраняющейся при всех переходах (такую величину называют инвариантом для рассматриваемой системы). Ясно, что тогда в конечном состоянии значение инварианта будет то же самое, что и в начальном, т.е. система не может оказаться в состоянии с другим значением инварианта.

2. На практике этот метод сводится к тому, что некоторая величина вычисляется двумя способами: сначала она просто вычисляется в начальном и конечном состояниях, а затем прослеживается её изменение при последовательных мелких переходах.

3. Наиболее простым и часто встречающимся инвариантом является четность числа; инвариантом может быть также и остаток от деления не только на 2, но и на какое-нибудь другое число. Для построения инвариантов иногда бывают полезны вспомогательные раскраски, т.е. разбиения рассматриваемых объектов на несколько групп (каждая группа состоит из объектов одного цвета).

Показательные и логарифмические неравенства

Неравенства играют важную роль в курсе математики средней школы. Это сравнительно новая тема, которая ранее не входила в школьный курс математики и, на данном этапе, недостаточно разработана.Современные школьники начинают знакомиться с неравенствами еще в начальной школе. Далее содержание темы «Неравенства» постепенно углубляется и расширяется. В школьном курсе алгебры изучаемы классы неравенств можно разбить на группы.

Приёмы быстрого счёта

Приходилось ли вам призадуматься, когда нужно было умножить, например, 8 на 9, или 7 на 9. Есть очень простой способ умножения однозначного числа на 9.

Умножение однозначного числа на 9.

 Воспользуемся своими руками. Например, необходимо умножить 9 на 6. Положите ладони перед собой,у вас 10 пальцев, мысленно пронумеровали их слева направо.Теперь поднимите палец № 6. Смотрите внимательно: слева от него 5 пальцев и справа 4. Результат умножения 9 на 6 равно54. Итак, поднимая палец под номером, на какое число умножаем 9, видим слева от него- ЧИСЛО ДЕСЯТКОВ и справа от него - ЧИСЛО ЕДИНИЦ результата умножения. попробуйте сами.

Умножение двузначного числа на 11.

Если хотите перемножить практически в уме двузначное число на 11, поступайте так.

Пример, 35 умножить на 11. Запишем 3_ 5 так, чтобы между ними осталось пустое место, а вот между ними запишем сумму 3 и 5, т.е. 8. Результат умножения 35 на 11 равен 385.

Итак, раздвигаем цифры числа, на которое умножаем 11, а между ними записываем результат сложения числа десятков и числа единиц. В том случае, если получившаяся сумма больше 9, т.е. двузначное число, тогда между цифрами записываем цифру единиц получившейся суммы, а цифру десятков прибавляем к первой цифре.

Пример, 67 умножить на 11. Раздвигаем, 6_ 7. Далее, 6+7=13. Значит, между 6 и 7 пишем цифру единиц 3, а цифру десятков 1 прибавляем к первой цифре 6. Получим, 737. Можете проверить.

Как без таблиц и калькуляторов извлечь квадратный корень из числа.

Пример, извлечь квадратный корень из 5776.

Число 5776 разделим на грани по две цифры в каждой, считая справа налево( в крайней грани может оказаться и одна цифра): 57^/76.

Извлечём квадратный корень из наибольшего точного квадрата, ближайшего к 57, т.е. 49, т.к. 49=7² и 49<57. Получили, что 7 - это первая цифра результата извлечения корня.

Возведём число 7 в квадрат и вычтем 49 из первой грани 57. 57 - 49 = 8.

Припишем к 8 вторую грань 76, получим число 876.В числе 876 всего 87 десятков. Разделим число десятков 87 на удвоенную первую цифру корня, т.е. на 14.

87 : 14 приближённо=6. Припишем 6 к числу 14. Имеем, 146.

Проверим, повториться ли в числе 876 число 146 столько же раз, сколько 14 повторилось в 87.  876 = 146*6. Проверка показала тот же самый результат.

Значит, 6 - вторая цифра результата извлечения корня.

Легко установить, что 76²=5776.

Прямо скажем, нелегко. Но возможно!

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Логические задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной оценкой.

Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Решение каждой из этих задач можно красиво оформить.

Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы  на изучение данной темы.

Логические задачи данного вида загадочны с первого взгляда, поэтому многие считаются неразгаданными. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений. Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с другой стороны, уметь  выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь.

Решение олимпиадных задач с помощью инварианта

Этюды об инварианте.

Многие любят математику, особенное удовольствие  доставляет решение трудных и замысловатых головоломок. Наверное, по этой причине стоит заниматься олимпиадными задачами. Пытаясь разобраться в секретах их решения, можно натолкнуться на «инвариант». Возникло множество вопросов. На чем основано решение задач с помощью инварианта? Каким образом можно его найти? Какие существуют виды инварианта? Одним словом, что же это такое – инвариант?

Итак, начнем...

Для начала рассмотрим понятие инварианта.

Инвариант значит "неизменный".

Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании.

Изучая литературу, связанную с олимпиадными задачами, можно прийти к следующим  выводам:

·         в качестве инварианта  чаще всего рассматриваются четность (нечетность), остаток от деления,  знак произведения (встречаются и другие инварианты, например, перестановки, раскраски).

·         главная трудность при решении задач на инварианты состоит в его поиске. Нахождение инварианта является самым важным шагом на пути к решению задачи.

Решение уравнений и неравенств методом областей                

Рассмотрим уравнение с двумя переменными  x+у=3. Его решением является упорядоченная пара чисел (х; у), которая обращает уравнение в верное числовое равенство.                                                                                                       

Таких решений бесконечно много. Изобразим их точками в координатной плоскости  ОХУ. Подберем несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3;0),(2;1),(0;3). Мы построили график уравнения. Прямая является геометрической моделью данного уравнения. Координаты каждой точки прямой и есть решение уравнения х+у=3.

   В дальнейшем нам необходимо успешно строить графики уравнений с двумя переменными. Поэтому рассмотрим графики наиболее часто встречающих уравнений.

1. │x│=2-задает пару прямых параллельных оси Оу (х=2, х=-2);

2. │x+1│=3 –задает пару прямых, прямых параллельных оси Оу(х=2,х=-4)

3. │у-1│=2-задает пару прямых, параллельных оси Ох (у=3,у=-1).

4.  у=│x+3│-2 –прямой угол с вершиной, а точке (-3;-2).

5. │x│+│у│=4-задает квадрат с вершинами в точках (0;-4),(0;4),(-4;0),(4;0)

6. │x+1│+3│у-2│=3-задает ромб, с вершинами в точках.

7. а)х + у =4 –уравнение окружности с центром вначале координат и радиусом 2.

   Б)(х-2) +(у-3)=9-уравнение окружности с центром в точке (2;3) и радиусом 3.

Замечание. Для доказательства 1-6 достаточно раскрыть модули и построить график полученного уравнения с учетом соответствующих ограничений, последнее уравнение доказывается в школьном курсе математики.

Решение уравнений посредством неравенств.

Не все уравнения, возможно,  решить стандартными способами. В школьном курсе математики выделены четыре основных методов решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, переход от равенства функций к равенству аргументов, функционально-графический. Помимо перечисленных методов существуют и специальные.  Как правило, они используются в том случае, когда уравнение весьма затруднительно решить основными методами. Таким методом является и решение уравнений с помощью различных неравенств. 

Сборник математических задач –загадок.

                                        * * *

      Сколько ударов в сутки делают часы с боем 7

  (В сутках 2 раза 12 часов,или 24 часа .Значит часы сделают ровно12 раз по 13 ударов , то есть 156 ударов .)

                                                                  * * *

Может ли дробь,у которой числитель меньше знаменателя , быть равной дроби , у которой числитель больше знаменателя ?

  ( Может ,например ,-3/-6 = 5/10 )

                  * * *

      Чем больше из нее берешь,тем больше она становится.Что это ?   

                           

         ( Яма )

 Пассажир такси ехал в село .По дороге он встретил 5 грузовиков и 3 автомашины.Сколько всего машин шло в село ?

      ( 1 машина –такси )

                                           * * *

Два десятка умножили на три десятка.Сколько десятков получилось ?

      ( 60 десятков )

                                          * * *

Мельник пришел на мельницу.В каждом из четырех углов он увидел по  3мешка ,на каждом мещке сидели по три кошки, а  каждая кошка имела при себе троих котят .Спрашивается.сколько ног было на мельнице ?

       (Две ноги мельника,ибо у  кошек и котят не ноги,а лапы . )

Решение олимпиадных задач по математике.

В последние годы наблюдается большое развитие олимпиадного движения среди школьников города Магнитогорска. Расширяется спектр проводимых для учащихся предметных олимпиад, появляются новые конкурсы и соревнования. Одно из лидирующих мест в этом процессе принадлежит олимпиадной математике.

Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.

Олимпиадные задачи получили своё название от популярных соревнований школьников и студентов, так называмых Математических олимпиад. Цель создания задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Не случайно академик А. Н. Колмогоров в своей речи на открытии XII Всесоюзной Олимпиады школьников по математике сравнил работу математика с «чередой решения (порою больших и трудных) олимпиадных задач».